1. 设常数$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$满足$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=0$，求证:

$$\lim_{x\to \infty}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\sin \sqrt{x+k}$$

Proof. 首先易证结论

$$\lim_{x \to \infty}\sin \sqrt{x+k}-\sin \sqrt{x+n}=0$$

将 $a_{n}=-a_{1}-a_{2}-\cdots-a_{n-1}$ 代入 $\sum_{k=1}^{n}a_{k}\sin \sqrt{x+k}$得

$$\lim_{x\to \infty}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\sin \sqrt{x+k}=\lim_{x\to \infty}\sum_{k=1}^{n-1}a_{k}(\sin \sqrt{x+k}-\sin \sqrt{x+n})=0$$

证毕.

2. 如果对任意 $x\in (-1,1)$ 有 $|\sum_{k=1}^{n}a_{k}\sin kx| \leq |\sin x|$，求证：

$$|\sum_{k=1}^{n}k a_{k}| \leq 1$$

Proof：我们用数学归纳法来证明。

(i). 当$n=1$时，易证明结论成立。

(ii). 不妨设$n$情形命题成立，来推导$n+1$情形,若

$$|\sum_{k=1}^{n+1}a_{k}\sin kx|=|\sum_{k=1}^{n}a_{k}\sin kx +a_{n+1}\sin nx\cos x+a_{n+1}\cos nx \sin x|\leq |\sin x|$$

由三角不等式知

$$|\sum_{k=1}^{n-1}a_{k}\sin kx+(a_{n}+a_{n+1}\cos x)\sin nx|\leq (1+|a_{n+1}\cos nx|)|\sin x|$$

即

$$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{a_{k}}{1+|a_{n+1}\cos nx|}\sin kx+\frac{a_{n}+a_{n+1}\cos x}{1+|a_{n+1}\cos x|}\sin nx|\leq |\sin x|$$

由归纳法知

$$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k a_{k}}{1+|a_{n+1}\cos nx|}+\frac{n(a_{n}+a_{n+1})\cos x}{1+|a_{n+1}\cos x|}|\leq 1$$

 从而

$$|\sum_{k=1}^{n-1}k a_{k}+n a_{n}+n a_{n+1}\cos x|\leq 1+|a_{n+1}\cos nx|$$

由三角不等式得

$$|\sum_{k=1}^{n+1}k a_{k}|\leq 1+|a_{n+1}\cos nx|-|n\cos x-(n+1)||a_{n+1}|$$

令$x=0$，得到

$$|\sum_{k=1}^{n+1}k a_{k}|\leq 1$$

3.对任意的正整数$n$，证明：当$x\in (0,\pi)$时，恒有

$$\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin kx}{k}>0$$